103學年度陸興中學數學科競試 班級： 座號： 姓名： 1.設f (x)為三次實係數多項式﹐已知f (1) = f (2 + i) = 3且f (0) = 13﹐則f ( - 1) = ____________﹒ 2..設 ﹐求x4 - 2x3 - 3x2 + 2x + 4之值= ﹒ 3. 一礦物內含 ﹑ ﹑ 三種放射性物質﹐放射出同一種輻射﹒已知 ﹑ ﹑ 每公克分別會釋放出1單位﹑2單位﹑1單位的輻射強度﹐又知 ﹑ ﹑ 每過半年其質量分別變為原來質量的 ﹑ ﹑ 倍﹒於一年前測得此礦物的輻射強度為66單位﹐而半年前測得此礦物的輻射強度為22單位﹐且目前此礦物的輻射強度為8單位﹐則目前此礦物中 ﹑ ﹑ 物質之質量分別為 ﹑ ﹑ 公克﹒ 4. 在邊長為 的正三角形 上各邊分別取一點 ﹑ ﹑ ﹐使得 形成一平行四邊形﹐如下圖所示： 若平行四邊形 的面積為 ﹐則線段 的長度為　　　　﹒ 5.在 中﹐ ﹐ ﹐ ﹒設點 ﹑ 分別在邊 ﹑ 上使得 之面積為 面積之一半﹐則 之最小可能值為____________﹒（化成最簡分數） 6.在 中 ， ， ，且 為正三角形，求 ？ 7. 設 為實數, 求 的最小值. 8., 袋中有紅球5個、白球3個、黑球4個, 若每球被選取的機會均等, 今每次由袋中取一球, 取後不放回, 取完為止. 則黑球最先取完的機率為何？ 9. 已知G為ΔABC的重心， =10， =4，BGC=135，則ΔABC的面積為何? 10. A，B均為三位正整數，B＞100，若logB的尾數為logA之尾數的3倍， 求A，B= 11. n個連續正整數1，2，3，…，n中，刪去一個數後，剩下(n－1)個數的 總和為2007，求刪去的數 。 12. x＞0， ，求x＝

陸興高級中學 100 學年度數學科競賽試題卷

一、複選填充題：(每題4分，複選全對才給分，答錯不到扣)

1.    下列哪些數是9的倍數？(複選)                  
j247023846　k　k　m　n      

2.    設a, b為有理數, c, d為無理數, 且, 判斷下列何者為正確？ 
j為無理數   k為無理數    lac為無理數 
m至少有一個為無理數  n若a+c=b+d ,則a=b且c=d　

3.    設, 若之解為, 求數對(a, b) =        

4.    設, 不論m為任何數, 二根均為有理數, 則?                         

5.    設, 則                  

6.    已知, 求數對(a, b) =          

7.    設, 則除以之餘式為　　　  

8.    若logx＋logx＋logx＋……＋logx＝110, 且, 則A＝             

9.    △ABC之三中線長為6, 15, 18, 則△ABC面積為何？              

10.   設z＝1－cos140°＋isin140°, 則 |z|＝?                      

11.   方程式－3x＋1＝0之三根α, β, γ, 在複數平面上所對應的點分別為A, B, C, 而P點表複數i, 則＝                         

12.   若某甲參加棋賽, 每一場比賽得勝之機率為, 失敗之機率為, 若得勝可得1000元, 不幸敗北則須交出300元. 若連續比賽6次, 求至少贏得3400元之機率為________. 

13.   隨機抽取400個真空管, 發現其中有40個不良品.　試求在99.7%信心水準下, 此種真空管真正的不良比例p的信賴區間為__________.  

14.   已知通過某定點的任意直線皆可表成 （）, 則
 此定點為              

15.   設, 求之最小值為                 

16.   設球面上兩點, 一隻螞蟻沿球面從A走到B, 其最短路程為                  
    

二、計算證明題：(若書寫空間不夠，可以利用背面書寫)

1.    證明.： 餘弦定理：若a, b, c分別表△ABC 三內角∠A, ∠B, ∠C 的對邊
 (8%)

2.試證明輾轉相除法：設a, b為正整數,若,則. (8%)

3.如右圖, 已知為直徑, 試利用向量證明：  .(8%)

    

4.求不等式的解？            (8%)

5求複數平面上的 z＝－8－8i 四個根.     (8%)

國立中興高級中學 98 學年度第1次教師甄選 數學科 答案卷

一、複選填充題：(每題4分，複選全對才給分，答錯不到扣)

   

1	jklm	2.	jlm	3.		4.	-6
5.		6.		7.	9x+2	8.	2046
9.	9	10	2cos20°	11		12	. 73/729
13	[0.055,0.145]	14	(1,1)	15	10	16